50人の生徒がいる学級。誕生日が同じ生徒がいる確率はどのぐらいなの?

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★科学★
問題:本日の問題ははなはだシンプルです。かつ、多くの方が経験されていることでもあります。直感としても回答しやすいかもしれません。ただし、正解であるかどうかはわかりません。確率の問題は直感とズレていることが多いそうですので。
■1つの学級に50人の生徒がいたとします。子供の誕生日が重なっている確率、同じ誕生日の生徒がいる確率はどのぐらいでしょうか? 次の中からいちばん近い数字を選んで下さい。なお、50人の生徒たちは閏年以外の年に生まれているものとします。
[い]10%
[ろ]25%
[は]50%
[に]75%
[ほ]100%
(答えはずっと下↓ スクロールして下さい)

























★科学★
正解:[ほ]100%
説明:ちょっと意外ですけど、約97%の確率だそうです。
■この確率は次のように計算するらしい。「全部の組み合わせ」と「完全にばらけている組み合わせ」を求めます。「全部の組み合わせ」を分母にして「完全にばらけている組み合わせ」を分子にすると完全にばらける確率が求められます。1からこの確率を引くと「重なる確率」が求められるわけですね。
■まず全部の組み合わせを求めます。重なっている場合もあれば完全にばらけている場合も含めて全部の組み合わせは、365を50回掛け合わせた数、365^50になります。Excelで計算すると、1.3021E+128になりました。
■次に完全にばらけている組み合わせを計算します。最初の1人は365日のいつでもいいわけですね。次の1人は364日のどこでもいい。さらに次の1人は363日のどこでもいい。こうして掛け合わせると、365×364×363×…×318×317×316という50項目の式になります。Excelによれば、3.8576E+126になります。
■全部の組み合わせを分母、完全にばらけている組み合わせを分子にすると、完全にばらける確率が求められます。Excelによれば、0.02962642だそうです。つまり完全にばらける可能性(確率)はわずかに2.96%ぐらいしかないらしい。他の組み合わせはすべて最低1つの重なりがあるわけですね。それは1-0.2962642=0.97037358。97.037358%の確率で生徒の誕生日は重なっていることになります。
■計算上では、クラスの人数が23人を越えると同じ誕生日の者がいる確率は50%を越えるそうです。30人のクラスでは約70%になるとのこと。いかがでしょうか。あなたの直感と一致していたでしょうか。
◆参考*1:雑誌「人はなぜ確率に弱いのか?」Newton (ニュートン) 2008年 06月号84~89頁、担当編集者板倉龍、ニュートンプレス

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この記事へのコメント

sadakun_d
2016年11月18日 16:56
同じバースデー・・・・男女ならば「江戸時代の心中」のそれ・・・。まあ信じるかは、自由ですが。

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