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zoom RSS 3次元を走る線…直方体の対頂線の長さでも暗算でできることがあるの?

<<   作成日時 : 2013/03/01 13:08   >>

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画像
★科学★
問題:口絵の図をごらんください。12×4×3cmの細長い直方体があります。その頂点間を結ぶ赤い線が引かれています。この赤い線の長さは何cmでしょうか? カンでお答えください。
[い]13cm
[ろ]13.5cm
[は]14cm
[に]14.5cm
[ほ]15cm
(答えはずっと下↓ スクロールして下さい)

























★科学★
正解:[い]13cm
説明:カンで答えよと申し上げましたが、算数に強いかたですと、すぐに正解が導かれるらしい。苦手な者には信じられないのですが。
■まず、4cm×3cmの長方形の対角線の長さを求めるそうです。ピタゴラスの三平方の定理によって、「4の自乗」+「3の自乗」の平方根であるところの5(cm)が対角線の長さになりますね。下の図でいえば、茶色の線分の長さが5cmです。
画像

■赤い線分は、直角を挟む辺の長さが5cmと12cmの直角三角形です。再びピタゴジラスの定理により、「12の自乗」+「5の自乗」の平方根であるところの13(cm)が対頂線(?)の長さというわけですね。
■算数に強い人は、3cmと4cmの辺で挟まれた直角三角形の斜辺の長さは5cmと知っているそうです。同様に、12cmと5cmの辺で挟まれた直角三角形の斜辺の長さは13cmと知っているらしい。これらは、ピタゴラス数という組み合わせになっているそうです。
■大昔の人達は、縄と棒で直角をつくるときに、3・4・5の直角三角形を利用することもあったらしい。ピタゴラス数のうちの最小の組み合わせを使っていたわけですね。もちろん、製図のやりかた次第では、ピタゴラス数を知らなくても直角は作れるのですが*3。
■なお、ピタゴラス数は、m>n≧1で整数のとき、m^2−n^2、m^2+n^2、2mnの3つになるそうです。「m=2、n=1」とすると、3、4、5になりますね。「m=3、n=2」のときに、5、12、13のピタゴラス数が成立します。ピタゴラス数があてはまる直方体では、対頂線の長さも暗算で導き出せるようです。
■余談です。ピタゴラスは偉大な数学者だったようですが、人間としてはごく普通の意地っ張りだったようです。物事の根源は数であるという考えを持っていたらしい。で、無理数の存在を否定していたそうです。無理数というのは、整数の比では表現できない数のことらしい。たとえばπ(パイ)、あるいはルート2やルート3、ルート5その他は無理数です。無理数は、循環しない無限小数になるそうです。たしかにπは、いくら細かく計算してみても繰り返しはないようですね*4。
■無理数の存在を否定するあまり、無理数について口外した仲間を溺死させたことがあるとも伝えられます*2。これがホントなら、普通の意地っ張りというよりも、極端な意地っ張りというべきなのかな。無理数が存在することをマスコミにばらすぞとか脅されたのかもしれません。それにしても人殺しは感心しませんね。
◆参考*1:書籍「数学トリック だまされまいぞ!」新書初版26〜27頁、仲田紀夫(なかだ のりお)著、ISBN4-06-132908-1、講談社
◇*2HP「ピタゴラス – Wikipedia」
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%94%E3%82%BF%E3%82%B4%E3%83%A9%E3%82%B9
◇*3HP「なぜエジプトから作図法が生まれたの?」
http://blog.q-q.jp/201012/article_9.html
◇*4HP「円周率πに隱された秘密の暗号。πの中にπがあるの?」
http://blog.q-q.jp/201005/article_5.html

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コメント(2件)

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ねこのひげも、アバウトな人間で数字を見るだけで頭痛がしてきます。
特にこの時期、確定申告の用紙を見ているとめまいがしてきます。
ピタゴラスは平気だったんですかね?ギリシャ時代には税金がなかったか?
ねこのひげ
2013/03/02 02:56
コメントをありがとうございます。

 あるHPには、紀元前3500年ごろのエジプトにはすでに関税が存在したと記されていました。紀元前数百年前の古代ギリシャには関税だけでなく、財産税はあったのではという推測も記されていました。
→「古代ギリシャ・ローマの財政・租税 - honky tonk manの黙示録 - Yahoo!ブログ」
http://blogs.yahoo.co.jp/honkytonkman_2/28396492.html

 ひょっとしたらネアンデルタール人のころから税金はあったのかもしれません。5万5000年ぐらい前の洞窟の壁には、狩りの獲物の絵や水飲み場の絵とともに、「税金の無駄遣い、絶対反対!」という文字が記されていた…というのはでっちあげですけど。
(^^;)
ねこのひげ様<素町人
2013/03/02 10:02

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