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zoom RSS 円錐の重心はどこにあるの?

<<   作成日時 : 2012/11/27 06:38   >>

なるほど(納得、参考になった、ヘー) ブログ気持玉 3 / トラックバック 0 / コメント 2

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★科学★
問題:本日は、重心についてのお話です。理屈ではなく、カンに頼ると意外に正解がでるかもしれません。
■二等辺三角形の重心がどこにあるかご存じですか? 底辺の上、三角形全体の高さの1/3の点にあるそうです。これは細い二等辺三角形でも太い二等辺三角形でもおなじらしい(口絵参照)。
■中心の線を軸として、二等辺三角形を回転させると円錐になります。円錐も回転軸に対して対称ですから、回転軸上のどこかに重心があるのは間違いないでしょう。
では、それはどのへんにあるのでしょうか? 
[い]底面の中心と頂点を結んだ高さの1/3より高い位置
[ろ]底面の中心と頂点を結んだ高さの1/3の位置
[は]底面の中心と頂点を結んだ高さの1/3より低い位置
[に]太い円錐と細い円錐では位置が異なる
(答えはずっと下↓ スクロールして下さい)

























★科学★
正解:[は]底面の中心と頂点を結んだ高さの1/3より低い位置
説明:なぜ1/3より下になるのかは、次のように考えるとわかるそうです。
■まず、円錐を縦に薄切りします。大根の尻尾を切り落とし、切断面をまな板につけ、とがった尻を上にして、切れ味のいい包丁で薄切りにしていく場面を想像してください。
▼円錐を縦に薄切りにする
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■円錐の端っこはうんと低い高さの半月形(?)ができるはずです。徐々に高い高さの半月形になり、回転軸を含む切片ではほぼ二等辺三角形になるはずです。そしてまた徐々に低い高さの半月形になっていきます。
■いちばん高い切片では、二等辺三角形ですから、重心は1/3の位置にあるはずです。他の切片では、それよりも低い位置に重心が位置します。回転軸からいちばん遠い、端っこの切片の重心は底面に近い位置にあります。一番高い切片の隣の切片でも、重心の位置は1/3より低そうですね。
■二等辺三角形の重心は、太っていようが痩せていようが、1/3の位置にあるはずです。ということは、太っていようが痩せていようが、どんな円錐の重心の位置も、1/3よりも低い位置にありそうですね。
■実際に、なつかしの積分を使って円錐の重心の位置を求めている頁がありました*1。この頁の筆者と参考資料*2の筆者は、いずれも底面から1/4の位置に重心が来るはずといっています。
■なぜ1/4の位置に来るのか。こまかい計算は参考資料*1をごらんいただくとわかるようです。ただし、こちらは、薄切りの方向が横になっていました。まことに残念なことではありますが、昔の不勉強が今に祟り、素町人には理解できませんでした。
◆参考*1:HP「重心を求める [物理のかぎしっぽ] 」
http://hooktail.sub.jp/mechanics/CG/
◇*2書籍「頭のクスリ」初版31〜32頁、クリストファー・P・ヤルゴスキー/フランクリン・ポッター著、ISBN4-07-233980-6主婦の友社

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コメント(2件)

内 容 ニックネーム/日時
数学は弱いので、参考資料を読んでも理解できなかったです(^^ゞ
なんとなく、底にありそうな気がしましたが・・・・
ねこのひげ
2012/11/28 08:22
コメントをありがとうございます。

 微分積分と聞くと悪寒がする体質です。お医者さんに相談したところ、不治の病と診断されました。
 ねこのひげ様は、資料を読んでみようという意欲があるわけですから、素町人よりは病状が軽いのかもしれません。
(^^;)
ねこのひげ様<素町人
2012/11/28 14:06

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