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zoom RSS 面積が2倍の正三角形を描くにはどうするの?

<<   作成日時 : 2012/07/13 06:55   >>

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★科学★
問題:定規とコンパスだけで面積が2倍の正方形を作れといわれたらどうしますか? 
■口絵の左のように各辺を倍にすると面積では4倍になってしまいます。口絵の右のように正方形の対角線を辺として正方形を描くと、面積を2倍にできます。最初の正方形は直角ニ等辺三角形が2つ分。赤い枠の正方形は4つ分ですから、2倍になっていることが明白ですね。
■では面積が2倍の正三角形を描くにはどうすればいいのでしょうか?
(答えはずっと下↓ スクロールして下さい)

























★科学★
正解:説明を参照してください
説明:正方形の場合には、1辺の長さが√2倍になっています。縦×横=√2×√2=2というわけで、面積が2倍になりました。
■正三角形の場合も考え方はおなじです。辺の長さが√2倍の正三角形を描けば、底辺はもちろん√2倍ですし、相似形なので高さも√2倍になっているはずですから、面積は2倍になるはずです。
■では、√2倍の辺の長さはどのように求めればいいのでしょうか? 実は口絵の中にヒントが含まれているそうです。正方形の対角線は、辺の長さの√2倍になっています。
▼面積2倍の正三角形の描きかた
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■まずは正三角形の1辺を使って正方形を描きます。コンパスと定規があれば必ず描けます(1)。次に正方形の対角線を描きます。この長さは正三角形の1辺の長さの√2倍の長さです(2)。正三角形の辺を延長して、√2倍の長さに目印をつけます(3)。次にもう1辺の延長線上にも√2倍の長さに目印をつけ、√2倍の目印2箇所を直線で結びます。ここにできたあらたな赤い枠の正三角形は、最初の緑の正三角形の2倍の面積があるようです。
■では、正三角形の面積を3倍にしたいときにはどうするのでしょうか? これも似たような作業でできるらしい。
▼√3倍の長さの求めかた
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図のように、直角に交わる辺の長さが√2、1であるような直角三角形を描きます。斜辺の長さは√3になります。この作業を繰り返していくと、√4倍、√5倍、√6倍、√7倍…の長さが得られるわけですね。
■というわけで、面積比3倍、4倍(これは簡単)、5倍、6倍、7倍…の正三角形を描くことも可能だそうです。
◆参考*1:書籍「恥ずかしくて聞けない数学64の疑問」初版49、54頁、仲田紀夫(なかだ のりお)著、ISBN4-654-07587-9、黎明書房

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コメント(4件)

内 容 ニックネーム/日時
恥ずかしながら数学は苦手でありますな〜
どんぶり勘定派であります(^^ゞ
ねこのひげ
2012/07/14 05:24
コメントをありがとうございます。

 最近は分類が少し異なるようですが、昔は幾何と代数がありました。代数のほうは文字だらけ。幾何のほうは図を見ながら考えることができました。

 素町人は、どちらかといえば、幾何のほうが点はよかった。それにしても苦手科目であることにかわりはありませんでしたけど。
(^^;)
ねこのひげ様<素町人
2012/07/14 07:42
参考になりました。数学の自由研究大変…
ズルックせんせー
2013/08/25 14:28
コメントをありがとうございます。

 ネットがなかったころの自由研究は、いまよりはるかに大変だったんですよ…
(^^;)
ズルックせんせー様<素町人
2013/08/25 14:55

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