円周率πに隱された秘密の暗号。πの中にπがあるの?

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★科学★
問題:昔々。1を3で割ると0.33333…だと教わりました。3の並びは永久に続くらしい。2を3で割ると0.66666…だとも教わりました。6の並びは永遠に続くらしい。でも3を3で割ると1だそうです。0.99999…とは習わなかったような気がするな。なぜかな。算数が嫌いになるのは、こういう小さな矛盾(?)を感じたときである…という説もあるそうです。
■0.99999…と1の違いについてはまた別の機会に考えるとします。素人が考えても結論は出そうにありませんが。
■のちに、教わったところでは、0.33333…とか0.66666…とか0.99999…というのは、普通の整数や割り切れる数と同様に有理数だそうです。これに対して無理数というのがあるらしい。√2(ルートに)とか√3(ルートさん)というのは、無理数らしい。どう違うかといえば、有理数は「2つの整数の比として表現できる数」だそうです。無理数は整数の比では表現できないらしい。
■さらに無理数の中にも、分類があるそうです。代数的無理数というのと、超越数というのがあるとのこと。√2や√3は代数的無理数だそうです。定義としては、「整数を係数とする方程式の解になる」のが代数的無理数だそうです。たとえば「xの自乗-2=0」という方程式の解の1つは「x=√2」だそうです。同様に、「xの自乗-3=0」という方程式の解の1つは「x=√3」になるのかな。
■無理数の中で代数的無理数でないものを超越数と呼んで特別扱いしているらしい。円周率の定数πもそのひとつだそうです。πは、整数の比としてはあらわせません。22/7とか355/113という分数では、近似値があらわせるそうです。電卓に計算させると、たしかに近い数になります。でも、しょせん近似値です。
■πは方程式の解としても表現できないそうです。だからこそ、πは特別な数として数学者たちは一目置いているようです。
■有理数ですと、小数に直したとき、小数点以下の数字の並びは有限、あるいは循環小数になるらしい。0.33333…や0.66666…はサイクルの短い循環小数なのかな。ところが、πのような超越数は無限に続き、しかも循環しないそうです。不思議ですね。
■100514現在、πは小数点以下2兆5769億桁ほどまで計算されていると聞きます。スーパーコンピュータが計算したらしい。去年の4月、筑波大学計算科学研究センターの機械が、約3日かけて主計算と検証計算を行なったとのこと。
■現在までにわかっている2兆桁余りの数字の並びのなかには、ちょっと不思議なものもあるらしい。では、次の5つの数字の並びの中で、実際に2兆桁余りのなかに含まれているものはどれでしょうか?
[い]「012345678901」
[ろ]「000000000000」
[は]「8888888888888」
[に]「14142135613」
[ほ]「314159265358」
(答えはずっと下↓ スクロールして下さい)

























★科学★
正解:すべて含まれている
説明:兆を越えるような数字の羅列です。循環もしていません。むやみやたらと変化に富んでいるようですね。ところどころに意味ありげな数字の並びも見られるらしい。以下のお話は、すべて参考資料*1に掲載されていたものです。
■[い]の「012345678901」は、「小数点以下1兆7815億1406万7534桁目から12桁など」で見られるそうです。「など」が気になりますね。複数箇所で見られるということなのかな。
■[ろ]の「000000000000」は0が12個連続しています。「小数点以下1兆7555億2412万9973桁目から12桁」だそうです。
■[は]の「8888888888888」は8が13個連続しています。中国系の人が喜びそうな眺めですね。こちらは「小数点以下2兆1641億6466万9332桁目から13桁」で見られるとのこと。
■[に]の「14142135613」は、ルート2のはじめの11桁ですね。「ひとよひとよにひとみごろ…」です。こんなのもπの中には含まれているそうです。「小数点以下4566億6102万5038けた目から11けたなど」にあるらしい。ここにも「など」という表現があります。
■[ほ]は「314159265358」はπの先頭にある12の数字ですね。「πの中のπ」です。「小数点以下1兆1429億531万8634桁目から12桁」だそうです。これが出てきたときは、数学者たちは「あれ? 循環しているじゃん!」と思わず目を疑ったのかな。でも13番目の数字が違っていて「な~んだ」となったんでしょうね。勝手な想像ですけど。
■この他にも、なかなか面白い景色があるそうです。たとえば「小数点以下3682億9989万8266桁目から12桁」には7が12も並んでいるそうです。欧米系の人が喜ぶのかな。「小数点以下1兆410億3260万9981桁目から12桁」という位置には1が12並ぶ風景があるそうです。
◆参考*1:雑誌「円、球、そしてπ」Newton (ニュートン) 2009年 12月号16~49頁、担当編集者高嶋秀行、ニュートンプレス

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この記事へのコメント

tenmoku
2010年05月15日 12:16
0.999…=1なんですよね。
高校で習った循環小数の項と「極限」という概念を知っていればそうならなければ破綻してしまうことが分かります。

「無限に大きい円から一部線分を切り取ってみると、それは直線である」
tenmoku様<素町人
2010年05月15日 12:28
コメントをありがとうございます。

0.999…=1。
 う~ん。きっとそうだろうとは思いますが、心から納得できるかというと、なかなかむずかしいですね。
(^^;)
ko
2010年05月19日 19:08
 中学のとき、以下のベタな証明を知って、僕は納得してしまいました。

10x=9.999...
-) x=0.999...
9x=9
∴ x=1

 今では理系大学生ですw
ko様<素町人
2010年05月19日 20:07
コメントをありがとうございます。

 なるほど。たしかに、0.999…=1になるみたいですね。ここで納得できる人が理系に進み、出来ない者は文系に行くのかな。
(^^;)
UFO
2010年09月19日 21:56
こんな感じ。
1-0.99999999・・・・=0.000000000000・・・1=0
UFO様<素町人
2010年09月20日 09:26
コメントをありがとうございます。

0.9999…と1は等しい。
きっと論理ではそうなのでしょう。でも、心理とか生理のほうが受け付けてくれません。せっかくのご教示にもこたえられない駄目生徒でもうしわけありません。
m(_ _)m

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